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VISIBLE MATH｜AM–GM

산술평균과 기하평균의 관계

반원에 내접한 직각삼각형과 빗변에 내린 높이를 이용해 반지름 $R$과 높이 $h$를 비교하고, 산술평균이 기하평균보다 작지 않은 이유를 확인합니다.

목표 부등식
$\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
등호는 $a=b$일 때, 그리고 그때에만 성립

반원 기하 도형

ABCDObahR$a+b$$R=\dfrac{a+b}{2}$
슬라이더로 $a,b$를 바꾸며 $h=\sqrt{ab}$가 반지름 $R=\dfrac{a+b}{2}$를 넘지 않는지 확인해 보세요.

기하 설정

  • $AD=b$, $DB=a$
  • $AB=a+b$
  • $R=\dfrac{a+b}{2}$

핵심 성질

  • 반원에 대한 원주각은 직각
  • 빗변에 내린 높이는 $h^2=ab$를 만족
  • 두 작은 삼각형의 닮음으로 유도할 수 있음
  • 따라서 $h=\sqrt{ab}$

부등식

  • 수선의 길이가 가장 짧으므로 $h\le R$
  • $\sqrt{ab}\le \dfrac{a+b}{2}$

등호 성립

  • $h=R$일 때
  • 점 C가 반원의 가장 높은 곳에 있을 때
  • 따라서 $a=b$

언제 산술–기하평균 부등식을 떠올려야 할까?

공식을 먼저 외워 끼워 넣기보다, 문제에 “합과 곱 사이에서 최댓값·최솟값을 구하는” 구조가 있는지 먼저 봅니다. 그런 다음 AM–GM으로 기본형에 돌려놓을 수 있는지 확인합니다.

1

먼저 양수인지 확인

표준 AM–GM을 직접 적용하려면 두 양(또는 모든 항)이 양수여야 합니다.

2

무엇이 일정한지 확인

문제에서 합이 일정하거나 곱이 일정하다고 주어졌거나, 그렇게 정리할 수 있다면 중요한 신호입니다.

3

무슨 극값을 구하는지 확인

곱이 일정 → 합은 최솟값
합이 일정 → 곱은 최댓값

4

등호 조건 찾기

극값은 보통 두 항이 같은 A=B일 때 나타납니다. 항이 더 많으면 모든 항이 같을 때입니다.

기본형 A＋B → AB

$A+B=S$ 일정→$AB$의 최댓값
$A=B$일 때

즉 “합에서 곱”: 합을 알고 곱의 최댓값을 구하는 형태입니다.

기본형 AB → A＋B

$AB=P$ 일정→$A+B$의 최솟값
$A=B$일 때

즉 “곱에서 합”: 곱을 알고 합의 최솟값을 구하는 형태입니다.

사용 조건: 표준 산술–기하평균 부등식은 비교하는 각 항이 양수여야 합니다. 어떤 항이 0 또는 음수가 될 수 있거나 정의역에서 양수가 보장되지 않으면, 단지 “합과 곱처럼 보인다”는 이유만으로 바로 적용할 수 없습니다.

심화: 계수가 구조를 가리고 있을 때는?

원래 식을 억지로 공식 모양에 맞추지 말고, 두 양의 항을 새로운 $A,B$로 다시 둡니다. 그런 다음 $A+B$ 또는 $AB$가 일정한지 확인합니다. 고정된 곱이 완전제곱수가 되면 계산이 깔끔해지지만, 그것은 AM–GM 적용의 필수 조건이 아닙니다.

① 두 양의 항으로 나누기어떤 두 부분을 $A$, $B$로 볼지 정합니다.
② 새 문자로 치환하기$A=$ 첫째 항, $B=$ 둘째 항으로 둡니다.
③ A+B 또는 AB 확인둘 중 하나가 상수가 되면 고정합·고정곱의 기본형으로 돌아갑니다.
④ 등호 조건 사용구조가 보이면 $A=B$로 극값을 찾고 원래 변수로 되돌립니다.
예$x>0$일 때 $3x+\dfrac{12}{x}$의 최솟값을 구하시오.
$A=3x,\quad B=\dfrac{12}{x}$로 둔다
그러면 $AB=3x\cdot\dfrac{12}{x}=36=6^2$이므로 곱이 일정합니다.
따라서 $A+B\ge2\sqrt{AB}=12$이고, $A=B$일 때 등호가 성립합니다.
$3x=\dfrac{12}{x}$에서 $x=2$입니다.
유형$A,B>0$, $2A+3B=36$일 때 $AB$의 최댓값을 구하시오.
$x=2A,\quad y=3B$로 둔다
그러면 $x+y=36$이므로 “합이 일정 → 곱이 최대”인 기본형으로 바뀝니다.
AM–GM에 의해 $xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=18^2=324$.
$xy=(2A)(3B)=6AB$이므로 $6AB\le324$, 따라서 $AB\le54$.
등호는 $x=y$, 즉 $2A=3B=18$일 때 성립합니다. 따라서 $A=9,\ B=6$이고 $AB=54$입니다.
유형$X,Y>0$, $XY=25$일 때 $2X+3Y$의 최솟값을 구하시오.
$A=2X,\quad B=3Y$로 둔다
그러면 $AB=(2X)(3Y)=6XY=150$이므로 “곱이 일정 → 합이 최소”인 기본형으로 바뀝니다.
AM–GM에 의해 $A+B\ge2\sqrt{AB}=2\sqrt{150}=10\sqrt6$.
따라서 $2X+3Y\ge10\sqrt6$.
등호는 $A=B$, 즉 $2X=3Y$일 때 성립합니다. 이를 $XY=25$와 함께 풀면 $X=\dfrac{5\sqrt6}{2},\ Y=\dfrac{5\sqrt6}{3}$입니다.
따라서 $2X+3Y$의 최솟값은 $\boxed{10\sqrt6}$입니다.
판별 핵심: 고정된 곱을 완전제곱수로 만드는 것은 AM–GM의 성립 조건이 아니라 계산을 쉽게 하는 풀이 기법입니다. 완전제곱수가 아니어도 같은 방법을 쓸 수 있고, 답에 근호가 남을 뿐입니다.

대수로 확인하기: 합이 일정할 때 곱은 언제 최대인가?

같은 내용을 대수로 바꾸어 봅니다. A+B가 일정할 때 AB는 언제 최대가 될까요? 완전제곱식으로 정리하면 최대값이 A=B일 때 나온다는 것을 알 수 있습니다.

완전제곱식으로 증명

A=x, B=S-x로 두고, S=A+B라 하자
AB = x(S-x)
AB = -x² + Sx
AB = -(x - S/2)² + S²/4
-(x - S/2)² ≤ 0 이므로 AB ≤ S²/4

현재 값 대입

ABx=A
S가 일정하면 포물선의 꼭짓점은 x=S/2, 즉 A=B인 위치에 있습니다. 같은 A+B에서 AB의 최대값은 (A+B)²/4이므로 √AB ≤ (A+B)/2입니다.

한 걸음 더: 세 개 이상의 양수

반원은 두 양수를 직접 보여 주지만, 산술평균과 기하평균의 관계는 세 개 이상의 변수에도 성립합니다. 변수가 많아지면 그림으로 표현하기 어려워도 부등식은 그대로 성립합니다.

세 개의 양수

$\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$

등호는 $a=b=c$일 때, 그리고 그때에만 성립합니다.

$n$개의 양수

$\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$

등호는 $x_1=x_2=\cdots=x_n$일 때, 그리고 그때에만 성립합니다.

합이 일정할 때의 최댓값

합이 일정 $\Longrightarrow$ 모든 값이 같을 때 곱이 최대

두 수는 $a=b$, 세 수는 $a=b=c$이며 더 많은 수에서도 같습니다.

핵심: 반원 모형으로 두 변수의 경우를 눈으로 이해한 뒤, 그 직관을 일반적인 산술평균–기하평균 부등식으로 확장합니다.
UNDERSTAND → PRACTICE

이해했다면 문제로 확인하기

고등학교 1학년 실수 단원 문제 생성기에서 A11 산술–기하평균 최적화 유형을 선택할 수 있습니다. 현재 연습 페이지는 번체 중국어로 제공됩니다.

연습 문제 열기 →