Knowledge Atlas
VISIBLE MATH｜INEQUALITY

算幾不等式證明動畫

利用半圓內接直角三角形與斜邊上的高，觀察半徑 $R$ 與高 $h$ 的關係，證明算術平均數不小於幾何平均數。

目標不等式
$\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
當且僅當 $a=b$ 時等號成立

半圓幾何圖形

ABCDO bahR$a+b$$R=\dfrac{a+b}{2}$
拖曳滑桿改變 $a,b$，觀察 $h=\sqrt{ab}$ 永遠不超過半徑 $R=\dfrac{a+b}{2}$。

幾何設定

  • $AD=b$，$DB=a$
  • $AB=a+b$
  • $R=\dfrac{a+b}{2}$

關鍵性質

  • 半圓內接角為直角
  • 斜邊上的高滿足 $h^2=ab$
  • 可由兩個小三角形相似推出
  • 所以 $h=\sqrt{ab}$

不等式

  • 垂線段最短，所以 $h\le R$
  • $\sqrt{ab}\le \dfrac{a+b}{2}$

等號成立

  • 當 $h=R$
  • 點 C 在半圓最高點
  • 所以 $a=b$

國中方法：固定和，乘積何時最大？

把算幾不等式換成國中代數語言：如果 A+B 固定，什麼時候 AB 最大？用配方法就能看出最大值發生在 A=B。

配方法證明

令 A=x，B=S-x，其中 S=A+B
AB = x(S-x)
AB = -x² + Sx
AB = -(x - S/2)² + S²/4
因為 -(x - S/2)² ≤ 0，所以 AB ≤ S²/4

代入目前參數

AB x=A
當 S 固定時，拋物線最高點在 x=S/2，也就是 A=B。這等價於：在同樣的 A+B 下，AB 最大是 (A+B)²/4，因此 √AB ≤ (A+B)/2。