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VISIBLE MATH｜AM–GM

算幾不等式證明動畫

利用半圓內接直角三角形與斜邊上的高，觀察半徑 $R$ 與高 $h$ 的關係，證明算術平均數不小於幾何平均數。

目標不等式
$\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
當且僅當 $a=b$ 時等號成立

半圓幾何圖形

ABCDObahR$a+b$$R=\dfrac{a+b}{2}$
拖曳滑桿改變 $a,b$，觀察 $h=\sqrt{ab}$ 永遠不超過半徑 $R=\dfrac{a+b}{2}$。

幾何設定

  • $AD=b$，$DB=a$
  • $AB=a+b$
  • $R=\dfrac{a+b}{2}$

關鍵性質

  • 半圓內接角為直角
  • 斜邊上的高滿足 $h^2=ab$
  • 可由兩個小三角形相似推出
  • 所以 $h=\sqrt{ab}$

不等式

  • 垂線段最短，所以 $h\le R$
  • $\sqrt{ab}\le \dfrac{a+b}{2}$

等號成立

  • 當 $h=R$
  • 點 C 在半圓最高點
  • 所以 $a=b$

什麼時候該想到算幾不等式？

先不要急著背公式。題目只要出現「和與積互相求極值」的結構，就應該先檢查能不能用算幾不等式。

1

先檢查正數

兩個量（或更多個量）必須是正數，才直接套用標準 AM–GM。

2

看固定的是什麼

題目若給定或可整理出和固定或積固定，就是明顯訊號。

3

看要求的極值

積固定 → 和有極小值
和固定 → 積有極大值

4

找等號條件

極值通常發生在兩項相等：A=B；多項時則全部相等。

最基本型 A＋B → AB

$A+B=S$ 固定→$AB$ 的最大值
在 $A=B$ 時取得

也就是「和求積」：知道和，去找乘積最大。

最基本型 AB → A＋B

$AB=P$ 固定→$A+B$ 的最小值
在 $A=B$ 時取得

也就是「積求和」：知道積，去找總和最小。

使用限制：標準算幾不等式要求參與比較的各項為正數。若原式可能為 0、負數，或定義域沒有保證正值，不能只因為「看起來像和與積」就直接套用。

進階辨識：係數把結構藏起來怎麼辦？

含係數時，不要硬看原式。把兩個正項重新命名成新的 $A,B$，再檢查 $A+B$ 或 $AB$ 是否能整理成固定值。固定積若剛好能整理成完全平方數，計算會更漂亮，但這不是使用 AM–GM 的必要條件。

① 拆成兩個正項先辨認哪兩塊要當成 $A$、$B$。
② 重新代數命名令 $A=$ 第一項、$B=$ 第二項。
③ 檢查 A+B 或 AB若其中一個可整理成常數，就回到固定和或固定積的基本型。
④ 找相等條件結構確認後，由 $A=B$ 找到極值，再代回原變數。
例求 $x>0$ 時 $3x+\dfrac{12}{x}$ 的最小值。
令 $A=3x,\quad B=\dfrac{12}{x}$
則 $AB=3x\cdot\dfrac{12}{x}=36=6^2$，乘積固定。
所以 $A+B\ge 2\sqrt{AB}=12$，且在 $A=B$ 時取到最小值。
由 $3x=\dfrac{12}{x}$ 得 $x=2$。
類題已知 $A,B>0$，且 $2A+3B=36$，求 $AB$ 的最大值。
令 $x=2A,\quad y=3B$
則 $x+y=36$，轉成最基本的「固定和求積最大」。
由 AM–GM，$xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=18^2=324$。
又 $xy=(2A)(3B)=6AB$，所以 $6AB\le324$，得到 $AB\le54$。
等號成立於 $x=y$，即 $2A=3B=18$，所以 $A=9,\ B=6$，此時 $AB=54$。
類題已知 $X,Y>0$，且 $XY=25$，求 $2X+3Y$ 的最小值。
令 $A=2X,\quad B=3Y$
則 $AB=(2X)(3Y)=6XY=150$，轉成最基本的「固定積求和最小」。
由 AM–GM，$A+B\ge 2\sqrt{AB}=2\sqrt{150}=10\sqrt6$。
因此 $2X+3Y\ge10\sqrt6$。
等號成立於 $A=B$，即 $2X=3Y$；配合 $XY=25$，可得 $X=\dfrac{5\sqrt6}{2},\ Y=\dfrac{5\sqrt6}{3}$。
所以 $2X+3Y$ 的最小值為 $\boxed{10\sqrt6}$。
辨識重點：「湊成完全平方」不是 AM–GM 成立的必要條件，而是常用的解題技巧。例如固定積不是完全平方仍可做，只是答案會留下根號；若題目刻意設計係數，常會讓乘積剛好變成 $k^2$，方便學生辨認 $2\sqrt{AB}=2k$。

國中方法：固定和，乘積何時最大？

把算幾不等式換成國中代數語言：如果 A+B 固定，什麼時候 AB 最大？用配方法就能看出最大值發生在 A=B。

配方法證明

令 A=x，B=S-x，其中 S=A+B
AB = x(S-x)
AB = -x² + Sx
AB = -(x - S/2)² + S²/4
因為 -(x - S/2)² ≤ 0，所以 AB ≤ S²/4

代入目前參數

ABx=A
當 S 固定時，拋物線最高點在 x=S/2，也就是 A=B。這等價於：在同樣的 A+B 下，AB 最大是 (A+B)²/4，因此 √AB ≤ (A+B)/2。

再往前一步：三個或更多正數

上面的半圓直接呈現兩個正數，但算幾不等式不只適用於兩個未知數。變數增加後，幾何圖形不容易直接畫出來，公式仍然成立。

三個正數

$\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$

當且僅當 $a=b=c$ 時等號成立。

$n$ 個正數

$\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$

當且僅當 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ 時等號成立。

固定總和看極值

總和固定 $\Longrightarrow$ 全部相等時乘積最大

兩個數是 $a=b$；三個數是 $a=b=c$；更多個數也是同樣的結論。

重點：半圓模型負責把兩變數的情況看清楚；到了三個以上的變數，再把這個直覺延伸到一般的算幾不等式。
UNDERSTAND → PRACTICE

看懂了，接著用題目練習

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