まず正の数か確認
標準的な AM–GM を直接使うには、2つ（またはすべて）の量が正の数である必要があります。
半円の図形
スライダーで $a,b$ を変え、$h=\sqrt{ab}$ が半径 $R=\dfrac{a+b}{2}$ を超えないことを確認しましょう。
半円に内接する直角三角形と斜辺への高さを使い、半径 $R$ と高さ $h$ を比べながら、相加平均が相乗平均以上になる理由を確かめます。
まず公式を暗記して当てはめるのではなく、問題に「和と積の間で最大・最小を求める」構造があるかを見ます。そこから相加平均・相乗平均が使えるかを確認します。
標準的な AM–GM を直接使うには、2つ（またはすべて）の量が正の数である必要があります。
問題から和が一定、または積が一定と分かる、あるいはその形に整理できるなら重要なサインです。
積が一定 → 和には最小値
和が一定 → 積には最大値
極値は通常、2項が等しい A=B のときに現れます。多項ならすべて等しいときです。
つまり「和から積」：和が分かっていて、積の最大値を求める形です。
つまり「積から和」：積が分かっていて、和の最小値を求める形です。
元の式を無理に公式の形に見ようとせず、2つの正の項を新しい $A,B$ と置き直します。そして $A+B$ または $AB$ が一定になるかを確認します。固定積が完全平方になると計算はきれいになりますが、それは AM–GM を使うための必要条件ではありません。
同じ内容を代数で見てみます。A+B が一定のとき、AB はいつ最大になるでしょうか。平方完成をすると、最大値が A=B のときに現れることが分かります。
半円は2個の正の数を直接表しますが、相加平均と相乗平均の関係は3個以上の変数にも成り立ちます。高次元では図にしにくくなっても、不等式そのものは変わりません。
等号は $a=b=c$ のとき、かつそのときに限ります。
等号は $x_1=x_2=\cdots=x_n$ のとき、かつそのときに限ります。
2個なら $a=b$、3個なら $a=b=c$。個数が増えても同じです。
高校1年「実数」の問題生成ページで A11 相加平均・相乗平均による最大・最小 を選択できます。練習ページの表示は現在、繁体字中国語です。