01 · 學完馬上練
先把弦、弧、扇形、弓形分清楚。
圓周上兩點A、B連成的線段AB是弦；沿圓周從A走到B的曲線才是弧。同一對端點通常有兩條弧：較短、不到半圈的是劣弧，超過半圈的是優弧；若AB是直徑，兩條都是半圓。
圓心角的頂點在圓心，兩邊是半徑。兩半徑與選定的弧圍成扇形；弦與選定的弧圍成弓形。畫陰影前先描一次邊界，才能知道求的是哪個區域。
同一小弧對應的小扇形，可以拆成「小弓形＋由兩半徑和弦圍成的三角形」。後面用面積相減，就是從這個區域拆分來的。
題型依據：類題演練本PDF第1頁（印刷第32頁）名詞整理。例題條件重新列明，算式另行驗算。
觀念拆解與成立條件
圓周是所有與圓心距離恰等於 r 的點；圓面包含圓內及圓周。弦是兩個圓周點之間的直線段，直徑是通過圓心的特殊弦，因此最長弦是 2r。若一條直線穿過圓，其整條直線叫割線；位於圓內、端點在圓上的部分才叫弦。
逐步例題與驗算
例：半徑 8，圓的最長弦是 16。取圓周兩端 A、B，若 AB 恰通過 O，OA＋OB＝8＋8＝16；若不通過 O，將 O 向 AB 作垂線 M，半弦 AM＝√(64－OM²)＜8，所以 AB＜16。
常見錯因與重練提醒
把「弧」當成「弦」會把曲線當直線；把「弓形」當「扇形」會多算或漏算一個三角形。先沿區域邊界描一圈，再選公式。
02 · 學完馬上練
扇形：圓心角決定占全圓的比例。
同一圓中，360°對應一整圈。圓心角θ°的扇形占全圓θ/360，所以弧長與面積都乘這個比例，但它們乘的是不同的總量。
扇形面積 = πr² × θ/360
例如半徑6公分、圓心角60°：弧長2π公分，面積6π平方公分。若求扇形周長，還要加上兩條半徑，得到12+2π公分。
觀念拆解與成立條件
全圓是 360°，以固定半徑 r 將整圈平均切成 360 個 1°扇形。由旋轉對稱，每一塊的弧長、面積都相同，因此 θ°取 θ 份，必須把全周 2πr、全圓面積 πr²各乘 θ/360。若跨不同半徑的圓比較，比例的基準已變，不能只看角度。
逐步例題與驗算
例（原類題）：r＝16、θ＝90°。弧長 2π×16×(90/360)＝8π；面積 π×16²×(90/360)＝64π。周長是 8π＋16＋16＝8π＋32。確認：90°為四分之一圈，數值恰為全圓的四分之一。
常見錯因與重練提醒
把「弧長 8π」當成「周長 8π」漏加兩條半徑；把面積用 2πr 算會少一個長度維度。答案一定標長度或平方單位。
03 · 學完馬上練
弧長反求角度：先問它占整圈多少。
正向題給角度求弧長；反向題把「弧長÷圓周長」算出來，就得到整圈比例。不需要另外背一套公式。
例：半徑8，弧長10π，求圓心角與面積。
- 全圓周長2π×8=16π。
- 弧占整圈10π÷16π=5/8。
- 圓心角=360°×5/8=225°，超過半圈，不能只看小於180°的角。
- 扇形面積=64π×5/8=40π。
理由：πr²×θ/360 = (r/2)×(2πr×θ/360)。這裡仍是面積公式的改寫；弧長是曲線，不是三角形的一條直底邊。
同心圓：相同角度，弧長比等於半徑比。
外半徑20、內半徑15，同一圓心角截得外弧12π。角度比例=12π÷40π=3/10，角度108°；內弧=30π×3/10=9π。共同的是轉過的角度，不是兩條弧長。
題型依據：類題演練本PDF第1頁隨堂練習1；附錄PDF第2頁填充1、計算1。例題條件重新列明，算式另行驗算。
觀念拆解與成立條件
設弧長為 s，由 s＝2πr·θ/360 可得 θ＝360s/(2πr)。同理由面積 A＝πr²·θ/360 可解 θ＝360A/(πr²)。如果題目只畫小弧，卻給出 225°，應重新確認取的是劣弧還是優弧，不可私自換成 135°。
逐步例題與驗算
例（附錄）：扇形面積27π、半徑6，整圓面積36π，比例＝27/36＝3/4，圓心角＝270°。驗算弧長＝12π×3/4＝9π；再用 A＝r·s/2 得 6×9π/2＝27π。
常見錯因與重練提醒
分子分母要來自同一量：弧長÷圓周長，面積÷圓面積；不可把弧長÷圓面積當比例。
04 · 學完馬上練
旋轉與摩天輪：先數間隔，再換成弧長。
等間隔的8個位置把圓分成8段，每段對應360°÷8=45°。從一個位置轉過3段，是3/8圈，不是把起點也算進來變成4段。
半徑18公尺，若依題目指定方向要轉過3個間隔，轉角135°，點的路程是圓弧：2π×18×3/8=27π/2公尺。出發點與終點的直線距離是弦，不能拿弦代替路程。
若整圈花36分鐘，一分鐘走1/36圈，弧長=36π÷36=π公尺；3/8圈需36×3/8=13.5分鐘。先統一時間與長度單位。
例如已知順某方向需3段，逆方向就是剩餘8−3=5段。圖若沒交代方向，應列兩種可能，不自行挑較短的一條。
題型依據：類題演練本PDF第2頁（印刷第33頁）摩天輪例題3及隨堂。例題條件重新列明，算式另行驗算。
觀念拆解與成立條件
設共有 n 個等距車廂、每一格是 360/n 度。指定旋轉方向後，從目前最高點的車廂沿該方向逐格推演：往前 k 格是 k/n 圈；若同一位置再次繞到則是 (k+n)/n 圈，但問第一次只保留最小非負 k。車廂編號方向不一定與運轉方向一致，不能直接用編號大小決定正負。
逐步例題與驗算
例（類題圖）：8 個車廂，3 號起初在最高點，6 號第一次到最高點，依圖示逆時針轉過 3 格，r＝18。角度 3×45°＝135°；弧長 36π×3/8＝27π/2。若圖示反向，可能是 5 格，則弧長 45π/2；方向是必要條件。
常見錯因與重練提醒
把起點也算一格是常見「多算一段」；把移動路程寫成弦長，則把圓弧上的運動誤當直線位移。
05 · 學完馬上練
點與圓：比較點到圓心的距離。
圓是與固定圓心O距離等於r的所有點。若OP<r，點P在圓內；OP=r，在圓上；OP>r，在圓外。這是距離條件，不需要靠目測圖形。
若已知直徑10，半徑先除以2得到5。OP=5的點在圓上，不能拿OP跟直徑比較。
OP = r：圓上
OP > r：圓外
有根號，不一定得先算小數。
圓心在原點、半徑5。A(3,4)有OA²=25，在圓上；B(−4,2)有OB²=20，小於25，在圓內；C(4,−4)有OC²=32，大於25，在圓外。因為距離與半徑皆非負，可直接比較平方，無須把√20、√32近似成小數。
觀念拆解與成立條件
因 d 與 r 都是距離（非負），d＜r 與 d²＜r²等價。坐標題先求 (x－a)²＋(y－b)²，不必近似根號；若圓的面積給 100π，則 r²＝100、r＝10，而不是 100。
逐步例題與驗算
例（附錄）：圓心原點、面積100π，A(10,10)、B(−6,−8)、C(0,8)。比較平方：OA²＝200＞100，A在圓外；OB²＝36＋64＝100，B在圓上；OC²＝64＜100，C在圓內。三個判讀都回到同一半徑平方100。
常見錯因與重練提醒
先把直徑除以2才比較；帶負坐標的平方仍為正。圖形只示意，判斷以數值條件為準。
06 · 學完馬上練
線與圓：必須量圓心到直線的垂直距離。
從圓心O向直線L作垂線，垂足H，d=OH。垂線段是O到L的最短距離。若d>r，連最近處都超過半徑，不相交；d=r時只有H在圓上，是切線；d<r則有兩交點，是割線。
d = r：1交點（相切）
d < r：2交點（相割）
不能取O到直線上任意一點的斜線長當作d。通過圓上一點的直線也不一定是切線，它可能穿過圓而有另一個交點。
觀念拆解與成立條件
設 OH⊥L，則 OH＝d 為圓心 O 到直線 L 的最短距離。若 d＞r，L 上任何點 X 都有 OX≥OH＞r，故無交點。若 d＝r，唯有 X＝H 達到 OX＝r，故恰一點。若 d＜r，取直線上距 H 為 ±√(r²－d²) 的兩點 X，皆滿足 OX²＝d²＋HX²＝r²，故恰兩交點。
逐步例題與驗算
例：r＝6、d＝4，交點相對垂足左右各距 √(36－16)＝2√5，因此兩交點距離4√5。這裡即使直線不是水平畫出，沿直線距垂足左右對稱仍成立。
常見錯因與重練提醒
「直線經過圓上一點」不等於切線；切線還須確認只一交點，或確認切點的半徑垂直該直線。
07 · 學完馬上練
圓心到平行線的距離：先畫位置，不能一律相減。
半徑13，圓心到直線L的距離16，因此L在圓外。另一條直線K平行L，兩線距離6。K可能向圓心靠近，也可能遠離：
遠離的一側：圓心到K距離16+6=22
如果題目另外指定K與圓交於兩點，K必須是割線，距離小於13；因此只能選10，不能選22。算式16−6是經過條件排除後才確定，不是看見平行線就直接減。
若兩平行線都在圓心同一側，線間距離為兩個圓心距的差；若圓心夾在兩線之間，線間距離是兩距離相加。判斷之前先作共同垂線，別量斜線段。
題型依據：類題演練本PDF第7頁自我磨練3。例題條件重新列明，算式另行驗算。
觀念拆解與成立條件
在共同垂線上建立有向坐標，令圓心為0，L位於＋16，與L相距6的K只能位於＋10或＋22。這個例子兩條都在圓心同側；若平行線分居圓心兩側，距離是兩者非負圓心距之和。切割條件須在所有可能的K位置算出後再篩選。
逐步例題與驗算
例：r＝13、L距16、K距L為6，且K與圓有兩交點。候選距離10、22中，10＜13可割；22＞13不相交，故唯一答案為10。若題目改為K不相交，則22符合，10不符合。
常見錯因與重練提醒
不能先決定一律相減。畫出共同垂線，並用題目提供的交點數或切線條件做第二次判斷。
08 · 學完馬上練
切線為什麼垂直切點的半徑？
若直線在A點與圓相切，圓心到直線的最短距離等於半徑。如果OA不是垂線，就可作更短的垂線OH，使OH<OA=r，直線會穿過圓而有兩個交點，與相切矛盾。因此OA必垂直切線。
反過來，過圓上A點的直線若垂直OA，圓心到它的距離就是OA=r，所以它是切線。注意A必須在圓上。
OP² = OA² + PA²
例如OP=13、半徑OA=5，切線段PA=√(169−25)=12。圓心、切點、圓外點構成直角三角形，斜邊是OP。
觀念拆解與成立條件
切點A在圓周上，OA＝r。若切線L在A不垂直OA，取垂足H≠A，因斜邊OA＞直角股OH，OH＜r，L便與圓有兩交點，矛盾。反過來，若A在圓周上且 L⊥OA，則 OH＝OA＝r，因此L恰交圓於A。兩個方向各自都需要「A在圓上」。
逐步例題與驗算
例（習作）：圓O半徑9、OP＝15，PA為切線，△OAP在A為直角。PA²＝OP²−OA²＝225−81＝144，PA＝12。檢核：12、9、15構成3：4：5的放大比例。
常見錯因與重練提醒
直角位於「切點」A，不在圓心O，也不在外點P。勾股定理的斜邊是OP，不是PA。
09 · 學完馬上練
半徑未知：把圓心距寫成「半徑＋外面那段」。
切線PA在A點切圓。連心線OP先遇到靠近P的圓周點B；已知PA=12、PB=6，求半徑。因P、B、O依序共線，設半徑r，就有OP=PB+BO=6+r。
- 切線垂直切點半徑，所以△OAP的直角在A。
- 斜邊是OP=r+6，不是PA。
- 列式(r+6)²=r²+12²。
- 展開r²+12r+36=r²+144，兩邊消去r²，得12r=108，r=9。
- 代回OP=15、OA=9、PA=12，9²+12²=15²，驗算成立。
這裡(r+6)²不能寫成r²+36，少掉的2×r×6正是求出半徑的關鍵。
同一組數據，還能問最近與最遠距離。
圓外點到圓心距離15、半徑9。沿連心線往圓心走，先到圓周的距離是15−9=6；走到另一側圓周的距離是15+9=24。切線段12不是「到圓周最近」的距離。
題型依據：類題演練本PDF第8頁自我磨練4；附錄PDF第1頁選擇7。例題條件重新列明，算式另行驗算。
觀念拆解與成立條件
若 P、B、O 依序在同一直線上且 B 是靠近 P 的圓周點，則 OP＝PB＋BO＝t＋r。套切線直角三角形得 (r＋t)²＝r²＋PA²，消去 r² 後得到 2rt＋t²＝PA²；t＞0 時 r＝(PA²−t²)/(2t)。必須有 PA＞t 才得到正半徑。
逐步例題與驗算
例：PA＝12、PB＝6，r＝(144−36)/12＝9，OP＝15。核對圓外點到圓的最近距離 OP−r＝6，恰好就是 PB；最遠距離 OP＋r＝24。
常見錯因與重練提醒
若 B 是遠側圓周交點，OP 不能寫成 r＋PB；先畫 P、B、O 的共線次序，否則等式錯而後續計算全錯。
10 · 學完馬上練
兩條切線段等長，來自兩個直角三角形全等。
從圓外同一點P作PA、PB兩條切線，切點為A、B。△OAP與△OBP都為直角三角形：OP為公共斜邊，OA=OB為半徑，因此由RHS全等，得到PA=PB。
同時∠APO=∠BPO，所以OP平分兩切線夾角。PA=PB、OA=OB，表示P與O都在弦AB的中垂線上，因此OP就是AB的中垂線。
若∠APB=50°，OP分成兩個25°角。直角三角形OBP中，∠POB=180°−90°−25°=65°。
觀念拆解與成立條件
連 OA、OB、OP。∠OAP＝∠OBP＝90°，且 OA＝OB、OP為公共斜邊，所以直角三角形 OAP、OBP 由 RHS 全等；不只 PA＝PB，也有 ∠APO＝∠BPO。由 P 到 A、B 距離相等，以及 O 到 A、B 距離相等，O、P 都在 AB 的垂直平分線，故OP垂直平分AB。
逐步例題與驗算
例（簡報7）：r＝12、OP＝20。切線長 AP＝√(400−144)＝16；設 M＝OP∩AB，以面積兩種算法：OA·AP/2＝OP·AM/2，得 AM＝12×16/20＝48/5，因此 AB＝96/5。
常見錯因與重練提醒
RHS 是直角三角形全等，必須指明切點為直角、公共斜邊與半徑相等。算得 AM 是半弦，求 AB 還要乘2。
11 · 學完馬上練
內切圓不是只背等長：把三邊拆成三組切線段。
三角形三邊都與圓相切。從A引出的兩條切線段設為x，從B引出的設為y，從C引出的設為z。相等的是同一頂點出發的兩段，不是同一邊左右兩段。
例：AB=11、BC=12、CA=13，求A到切點的長。
- 設A到兩個切點都是x。
- B到切點為11−x，C到切點為13−x。
- 底邊BC由這兩段接成：(11−x)+(13−x)=12。
- 24−2x=12，得x=6。其餘兩組為5、7。
- 代回6+5=11、5+7=12、7+6=13，三邊都符合。
也可把AB+AC−BC寫成(x+y)+(x+z)−(y+z)=2x，所以x=(AB+AC−BC)/2；先看懂線段抵消，再使用這個簡式。
只有在AB=AC時，才由x+y=x+z推出y=z，底邊切點才會是中點。一般三角形不能直接對半分。
題型依據：類題演練本PDF第6頁例題7；附錄PDF第2頁計算2。例題條件重新列明，算式另行驗算。
觀念拆解與成立條件
若圓切三角形AB、BC、CA，從A、B、C到各切點的等長段分別為x、y、z，三邊是 x＋y、y＋z、z＋x。三式相加得周長 P＝2(x＋y＋z)，所以半周長 s＝x＋y＋z。利用 s−BC＝x、s−CA＝y、s−AB＝z 即可檢查所有切線段皆為正。
逐步例題與驗算
例（簡報8）：AB＝12、BC＝10、CA＝14。s＝18，因此A出發的切線段 x＝s−BC＝8，B出發 y＝s−CA＝4，C出發 z＝s−AB＝6。驗算 AB＝8＋4＝12、BC＝4＋6＝10、CA＝6＋8＝14。
常見錯因與重練提醒
內切圓的「切點分邊」一般不平分邊；只有特定對稱條件成立，才可推得相應兩段相等。三邊若不滿足三角形不等式，這些線段不可能構成內切圓三角形。
12 · 學完馬上練
弦心距：先把整條弦分成一半。
O是圓心，A、B在圓上，所以OA=OB，△OAB為等腰三角形。從O向AB作垂線，垂足M。△OMA、△OMB具有相等斜邊與共同直角股OM，RHS全等，所以AM=BM。
弦長 = 2√(r²−d²)
例如半徑5、弦心距3，半弦長√(25−9)=4，整條弦長8。少乘2是常見錯誤。
在同圓或等圓中，r固定，d越大，半弦平方越小，所以弦越短。若半徑不同，就不能只比弦心距判斷弦長。
觀念拆解與成立條件
以 r 固定、弦心距 d 滿足 0≤d≤r，弦長 c＝2√(r²−d²)。當 d 增加，d²增加，因此括號內減少、平方根減少；這是嚴格遞減（在 0≤d≤r），但 d·c 不固定，例如 r＝5 時，d＝3給c＝8、乘積24；d＝4給c＝6、乘積24，雖這兩組巧合相同，d＝0則 c＝10、乘積0，已反證普遍反比例。
逐步例題與驗算
例：r＝9、整弦AB＝10，M為弦中點，AM＝5，OM＝√(81−25)＝√56＝2√14。若把整弦10直接代入股，會得到負數或錯誤根號。
常見錯因與重練提醒
「越遠越短」是單調遞減，不是 y＝k/x 的反比例。不同半徑的圓無法只用弦心距比較。
13 · 學完馬上練
弦的進階題：反求半徑、隧道寬與未知弦心距。
已知弦長與弦心距，反過來求半徑。
弦AB=12，弦心距OM=2√7。垂足M平分弦，所以AM=6。在△OMA中，半徑OA是斜邊：r²=6²+(2√7)²=36+28=64，因此r=8。不能把整弦12當作一股。
隧道截面：路面是弦，不是直徑。
圓形截面半徑4√2，圓心到水平路面的距離4。半路寬=√[(4√2)²−4²]=√16=4，所以路寬8。只有路面通過圓心，才會等於直徑。
再多一步：把未知半徑與未知弦心距連起來。
設OM垂直弦AB，圓上的P在射線OM上且越過M。已知AB=8、AP=2√5。先用AM=4，在△AMP中求MP=√(20−16)=2。再設OM=x，由點的位置得OP=x+2，這就是半徑。
半徑=x+2=5
若P在另一側，半徑與x的加減關係會不同；一定先看O、M、P的順序，再列式。
題型依據：類題演練本PDF第6頁例題8、隧道隨堂；第8頁自我磨練6。例題條件重新列明，算式另行驗算。
觀念拆解與成立條件
因 OM⊥AB，故M為弦的中點，AM＝AB/2。若再有 P 在延長的 OM 射線上，先在△AMP由 AP²＝AM²＋MP²求 MP，再依 O、M、P 順序寫 OP＝OM＋MP 或距離差，最後於△OMA列 OP²＝OM²＋AM²。不同順序可能產生不同解。
逐步例題與驗算
例：AB＝8、AP＝2√5、O−M−P 順序、M在圓內。AM＝4，MP＝√(20−16)＝2。設OM＝x，半徑OP＝x＋2；(x＋2)²＝x²＋16 ⇒ x＝3，r＝5。驗證半弦√(25−9)＝4、整弦8。
常見錯因與重練提醒
題目只說「P在直線OM上」不足以唯一決定長度關係；務必有「射線、先後位置」或正確配圖。
14 · 學完馬上練
弓形不是扇形：扣掉中間的三角形。
小於180°的扇形，由弧與兩條半徑圍成；同一弧的小弓形則由弧與弦圍成。要找小弓形面積，可用扇形面積減掉兩半徑與弦圍成的三角形。
半徑6、圓心角60°，△OAB兩邊半徑相等，夾角60°，所以是邊長6的正三角形。作高平分底邊為3與3，由畢氏定理得高3√3。
小弓形面積 = 6π − 9√3
列式前先確認要的是扇形、小弓形還是大弓形；區域不一樣，就不能套相同的減法。
觀念拆解與成立條件
在0°＜θ＜180°的劣弧情況，弦AB將對應扇形分成△OAB和小弓形，因此小弓形＝扇形−三角形。優弧對應的大弓形不可以用同一小角直接減；它等於整圓面積−小弓形面積。若 θ＝180°，兩邊各為半圓且三角形退化為面積0。
逐步例題與驗算
例（基礎GO）：r＝18、θ＝60°。等腰△OAB夾角60°，故正三角形邊18，高9√3，面積81√3；扇形面積324π/6＝54π，小弓形＝54π−81√3。檢查小弓形正值，約29.3平方單位。
常見錯因與重練提醒
不能以「弧的角度60°」配上指向大半圓外側的陰影，否則算出的不是同一塊區域。此版自繪SVG作為可判讀圖，不沿用錯誤簡報13。
15 · 學完馬上練
複合面積：先把陰影寫成幾個熟悉的區域。
120°弓形：先由弦與弦心距找回半徑。
弦AB=6√3，弦心距OM=3，圓心角120°。半弦AM=3√3，因此r²=(3√3)²+3²=27+9=36，r=6。
扇形面積=36π×120/360=12π；三角形OAB以整弦作底、OM作高，面積=(6√3)×3÷2=9√3。所以小弓形為12π−9√3。這題已給弦與弦心距，不必硬背120°三角形的面積。
半圓扣三角形。
半徑10，AB是直徑，C在半圓上且OC垂直AB。△ACB的底AB=20、高OC=10，面積100；半圓面積50π。半圓內、三角形外的區域就是50π−100。
長方形扣兩個四分之一圓。
長4、寬2的長方形內，左右各畫一個半徑2的四分之一圓，兩區域內部不重疊。長方形面積8，兩扇形合計2×(4π÷4)=2π，剩餘面積8−2π。能相減的前提是兩塊都在長方形內，而且沒有重複扣除。
題型依據：類題演練本PDF第1頁弓形例題與隨堂；第7頁自我磨練1。例題條件重新列明，算式另行驗算。
觀念拆解與成立條件
面積拆分要明確定義所求集合。若圖形A完整包含B，求 A\B＝面積(A)−面積(B)；若兩塊重疊，不能直接減去兩次，須考慮交集。尤其「兩個四分之一圓」須確認圓扇形位置及不重疊條件。
逐步例題與驗算
例（類題）：半徑6、圓心角120°，弦6√3、弦心距3。由半弦3√3、d＝3得 r²＝27＋9＝36，符合r＝6；小弓形面積＝36π×(120/360)−(6√3×3/2)＝12π−9√3。
常見錯因與重練提醒
單位檢核：弦和距離相乘才是平方單位；若反推半徑不符合給定，表示圖形條件不一致，先停下來核對。
16 · 學完馬上練
題目變多步時，先補輔助線，再串起理由。
弦上的點不一定是垂足。
弦AB上有C，AC=8、CB=2，弦心距3。作OM垂直AB，則M是弦中點，AM=5；C比M更靠近B，因此MC=8−5=3。在直角三角形OMC中，OC=√(3²+3²)=3√2。不能直接把C當垂足，也不能將整條弦10當成直角股。
兩切線角，與兩半徑夾角互補。
PA、PB切圓於A、B。四邊形OAPB的A、B都是直角，內角和360°，所以∠AOB+∠APB=180°。若∠APB=120°，則∠AOB=60°。半徑OA=OB，於是△OAB為正三角形；半徑13時，AB也等於13。
內切圓：同一頂點的兩段相等，切點卻不必是邊中點。
三角形ABC三邊都與內切圓相切。從A、B、C分別引出的切線段長設為x、y、z，三邊就分別為x+y、y+z、z+x。若AB=AC，得到y=z；若A到切點為4、C到切點為10，則AB=4+10=14。沒有等腰條件，就不能自行判定y=z。
切點連線，也可用斜邊高求。
半徑5，圓外點OP=13。切線長PA=12。設OP與AB交於M，OP垂直平分AB，AM是直角三角形OAP對斜邊OP的高。從面積得AM=(5×12)÷13=60/13，所以AB=120/13。先算出的60/13只是半弦。
題型對照：習作練習卷PDF第1頁填充1、3與計算1，類題演練本的雙切線與弦長題。已回看原PDF核對條件及解答。
觀念拆解與成立條件
看圖先找：①圓心、切點、垂足；②直角的來源（切線或弦心垂線）；③同長的來源（半徑、同點切線、弦的平分）；④需使用幾次畢氏；⑤每個未知數是半弦、整弦還是半徑。任何一步若沒有條件支援，不應直接畫等號。
逐步例題與驗算
例（原習作）：PA、PB分別切於A、B，∠APB＝120°、r＝13。切點半徑 OA⊥PA、OB⊥PB；四邊形OAPB內角和360°，∠AOB＝360°−90°−90°−120°＝60°。△AOB有OA＝OB且頂角60°，故三角形等邊、AB＝13。
常見錯因與重練提醒
請區別教材排字錯誤與OCR識讀錯誤：原習作計算題印有OA⊥PB，應更正為 OA⊥PA；文章中「教材版本印錯」等未核實說法一律不引用。
看懂理由，再把方法練熟。
完成各站小練習，這裡會顯示本次進度。
簡報來源與數學校訂
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