看得見的畢氏數

這一頁不是取代畢氏定理，而是讓學生看見畢氏數背後的結構。有些整數邊長，可以從最大兩邊的差與和快速辨識，而不必每次都從頭計算。

3：4：55：12：137：24：258：15：179：40：4112：35：3720：21：29

動手生成畢氏數

拖曳 \(m,n\) 或選擇範例，觀察歐幾里得公式如何生成三邊，以及最大兩邊的差會落在哪一類。

較大的參數 \(m\)5 較小的參數 \(n\)2

短股20

長股21

斜邊29

結構一般型

把三邊排成 \(a<b<c\)。若最大兩邊相差 1，也就是 \(c-b=1\)，則：

\[a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=c+b\]

因此，只要最大兩邊相差 1，再看兩者的和是否為完全平方數，就能直接看出最短邊。

逆推：先選一個奇數 \(n\)，即可造出差 1 型：\[\left(n,\frac{n^2-1}{2},\frac{n^2+1}{2}\right)\]例如 \(n=9\)，得到 \((9,40,41)\)。

若最大兩邊相差 2，也就是 \(c-b=2\)，則：

\[a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=2(c+b)\]

因此可檢查 \(2(c+b)\) 是否為完全平方數。

畢氏數	觀察	直接看出
8, 15, 17	\(2(15+17)=64\)	\(\sqrt{64}=8\)
12, 35, 37	\(2(35+37)=144\)	\(\sqrt{144}=12\)

逆推：先選整數 \(n\)，即可造出差 2 型：\[\left(2n,n^2-1,n^2+1\right)\]例如 \(n=6\)，得到 \((12,35,37)\)。

快速辨識並不是額外背一條技巧，而是把畢氏定理反向改寫：

\[a^2+b^2=c^2\quad\Longrightarrow\quad a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)\]

注意：「看兩大邊的和」只適用於差 1 型；不是所有畢氏數都能直接套用。例如 \((20,21,29)\) 需回到一般方法。

選兩個整數 \(m>n>0\)，可得到：

\[a=m^2-n^2,\qquad b=2mn,\qquad c=m^2+n^2\]