看得見的數學｜海龍公式

即時數值

a =
b =
c =
s =
r =
面積 =

拖曳頂點可即時更新

先判斷：已知三邊、要求面積，才是海龍公式最典型的訊號。

步驟 1：面積與內切圓

任何三角形都有一個「內切圓」，其圓心稱為內心 $I$，半徑為 $r$。

如果我們把內心與三個頂點連線，可以將大三角形切成三個小三角形： $\Delta IAB$、$\Delta IBC$、$\Delta ICA$。

這三個小三角形的高都是 $r$，底分別是 $c, a, b$。

總面積 $\Delta = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$
$\Delta = r \cdot \frac{a+b+c}{2}$

若定義半周長 $s = \frac{a+b+c}{2}$，則：
$\Delta = r \cdot s$

步驟 2：切線段長相等

根據圓的幾何性質：圓外一點到圓的兩條切線段等長。

我們令頂點到切點的線段長度分別為 $x$, $y$, $z$。

觀察畫布上的顏色：
周長 $2s = 2x + 2y + 2z$
也就是說：
$s = x + y + z$

步驟 3：線段與邊長的關係

既然半周長 $s = x + y + z$，我們來觀察各個邊長。

邊 $a = y + z$，所以 $x = s - a$
邊 $b = x + z$，所以 $y = s - b$
邊 $c = x + y$，所以 $z = s - c$

這就是海龍公式裡面 $(s-a)$、$(s-b)$、$(s-c)$ 的幾何真面目！它們其實就是頂點到內切圓的切線段長度。

步驟 4：關鍵三角恆等式

內心 $I$ 是角平分線的交點。令三個半角為 $\alpha, \beta, \gamma$，則 $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ$。

在直角三角形中，可以寫出：
$\tan\alpha = \frac{r}{x}$ , $\tan\beta = \frac{r}{y}$ , $\tan\gamma = \frac{r}{z}$

在三角學中，若三角相加為 $90^\circ$，則其正切值滿足恆等式：
$\tan\alpha\tan\beta + \tan\beta\tan\gamma + \tan\gamma\tan\alpha = 1$ 代入半徑與線段長：
$\frac{r^2}{xy} + \frac{r^2}{yz} + \frac{r^2}{zx} = 1$

步驟 5：完成海龍公式

我們將上一步的恆等式同乘 $xyz$：
$r^2z + r^2x + r^2y = xyz$

提出 $r^2$：
$r^2(x + y + z) = xyz$
因為 $(x+y+z) = s$，所以 $r^2 s = xyz$

兩邊同乘 $s$：
$r^2 s^2 = s \cdot x \cdot y \cdot z$

還記得第一步的 $\Delta = rs$ 嗎？所以 $\Delta^2 = r^2 s^2$！
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$

$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

步驟 1：從正弦面積公式出發

已知兩邊 $b,c$ 與夾角 $A$，三角形的高為 $h=b\sin A$，所以可先寫出正弦面積公式。接下來的目標，是把角度 $A$ 全部改寫成三邊 $a,b,c$。

$\Delta = \frac{1}{2}\times c\times h$

$=\frac{1}{2}\times c\times b\sin A$

$=\frac{1}{2}bc\sin A$

利用平方關係

因為三角形內角 $0^\circ<A<180^\circ$，所以 $\sin A>0$：

$\sin^2A+\cos^2A=1$

$\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}$

$\Delta=\frac{1}{2}bc\sqrt{1-\cos^2A}$

這一步在做什麼？先保留熟悉的面積公式，再準備用餘弦定理消去角度 $A$。

步驟 2：代入餘弦定理，整理根號內

餘弦定理可以把「角度」改寫成「邊長」。先求出 $\cos A$，再代入上一步的根號內。

① 由餘弦定理求出 $\cos A$

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

$2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$

$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

② 整個代入 $\sqrt{1-\cos^2A}$

$\Delta=\dfrac12bc\sqrt{1-\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2}$

③ 先只看根號內：平方、通分

$1-\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2$

$=1-\dfrac{(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}$

$=\dfrac{(2bc)^2}{(2bc)^2}-\dfrac{(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}$

$=\dfrac{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}$

$=\dfrac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}$

容易漏掉：分式平方時，分子與分母都要平方；而 $1$ 通分後是 $\dfrac{(2bc)^2}{(2bc)^2}$。

步驟 3：消去分母，再用平方差

把上一步整理好的根號內代回面積公式。這裡先看清楚分母 $4b^2c^2=(2bc)^2$，再處理根號外的 $\dfrac12bc$。

① 把根號內的分子、分母拆開

$\Delta=\dfrac12bc\sqrt{\dfrac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}}$

$=\dfrac12bc\cdot\dfrac{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{\sqrt{4b^2c^2}}$

② 根號內的分母開根號，與外面的 $bc$ 約分

因為 $b,c$ 都是邊長，所以 $b>0,c>0$，因此 $\sqrt{4b^2c^2}=2bc$。

$\Delta=\dfrac12bc\cdot\dfrac{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{2bc}$

$=\dfrac{bc}{2}\cdot\dfrac{1}{2bc}\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$

$\Delta=\dfrac14\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$

③ 同一段也可寫成：把根號外的 $\dfrac12bc$ 移進根號

因為 $\dfrac12bc>0$，所以 $\dfrac12bc=\sqrt{\left(\dfrac12bc\right)^2}=\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{4}}$。

$\Delta=\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{4}\cdot\dfrac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}}$

$=\sqrt{\dfrac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{16}}$

$=\dfrac14\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$

④ 根號內是平方差：$X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)$

令 $X=2bc$、$Y=b^2+c^2-a^2$：

$(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2$

$=[2bc+(b^2+c^2-a^2)][2bc-(b^2+c^2-a^2)]$

$=(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)$

$\Delta=\dfrac14\sqrt{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)}$

負號要分配進括號：$2bc-(b^2+c^2-a^2)=2bc-b^2-c^2+a^2$。

步驟 4：整理成完全平方，再分解

平方差展開後有兩個大括號。先分別整理，不要急著一次看完整串式子。

① 第一個括號

$2bc+b^2+c^2-a^2$

$=(b^2+2bc+c^2)-a^2$

$=(b+c)^2-a^2$

$=(b+c+a)(b+c-a)$

② 第二個括號

$2bc-b^2-c^2+a^2$

$=a^2-(b^2-2bc+c^2)$

$=a^2-(b-c)^2$

$=(a+b-c)(a-b+c)$

③ 將兩部分合起來

$\Delta=\dfrac14\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)}$

步驟 5：換成半周長 $s$

令半周長 $s=\dfrac{a+b+c}{2}$，所以 $2s=a+b+c$。四個因式都能改寫成「$2$ 乘上一個與 $s$ 有關的式子」。

① 四個因式逐一替換

$a+b+c=2s$

$b+c-a=(a+b+c)-2a=2s-2a=2(s-a)$

$a+c-b=(a+b+c)-2b=2s-2b=2(s-b)$

$a+b-c=(a+b+c)-2c=2s-2c=2(s-c)$

② 代回並整理根號內的 $2$

$\Delta=\dfrac14\sqrt{2s\cdot2(s-a)\cdot2(s-b)\cdot2(s-c)}$

$=\dfrac14\sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\dfrac14\cdot4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

完成前最後確認：$s$ 是半周長，不是周長；先算 $s=\dfrac{a+b+c}{2}$，再分別算 $s-a$、$s-b$、$s-c$。

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