12 顆糖每 3 顆裝一包，正好 4 包，沒有剩下。12÷3＝4。除數不能是 0，因為無法把物品分成 0 份。
整除是商為整數而且沒有餘數。今天先討論正整數的正因數；0 的情況特別說明。
36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6。從 36 看 2、18 是因數；從 2 看 36 是倍數。用除法來看：36÷2＝18，角色最清楚。
1 是每個正整數的因數，每個正整數也是自己的因數。0 是任何非零整數的倍數，但 0 不是正整數，也不能當除數。
36 片正方形可排成 1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。注意：2×8 只有 16，不是 36。
本題約定「旋轉視為同一種」，36 有 5 種長方形排法；若旋轉不同種，非正方形各多算一次，共 9 種。
把全部正因數從小到大排列，最小和最大相乘就是原數，第二小和第二大也一樣。例如18的因數1、2、3、6、9、18，1×18＝2×9＝3×6＝18。因此知道一組相對位置的因數，就能反推原數。
若小正方形邊長為1，a×b的矩形周長是2×(a＋b)。同樣36片，1×36的周長是74，4×9是26，6×6是24。把所有因數對列出來再比較，才不會漏掉最小周長。
題目說長、寬都大於1，就要刪掉1×原數；旋轉算同種時，2×18與18×2只算一次。正方形是否包含在矩形內，也要依題目說明。
240 的個位是 0，所以同時是 2、5、10 的倍數。1375 的個位是 5，只能直接確定是 5 的倍數。
10 的倍數個位是 0；2 的倍數個位 0、2、4、6、8；5 的倍數個位 0 或 5。
例如1375＝1370＋5。1370＝137×10，而10＝2×5，所以1370一定能被2、5整除。剩下的5能被5整除，卻不能被2整除，因此1375是5的倍數，不是2的倍數。
換成任何整數，也是「整十的部分＋個位數」。判斷10時，個位必須是0；判斷2或5時，只要看個位是否能被它整除。
316＝3×100＋16。因為 100＝4×25，百位以上一定可被 4 整除，只需檢查 16。
要看完整末兩位，例如 204 看 04；114 的末兩位 14 不能被 4 整除，個位 4 不是判準。
300＝3×100＝3×4×25；剩下16＝4×4。
100＝4×25＝2²×5²，所以整百必定能被4整除。2316＝2300＋16＝4×575＋4×4＝4×579。
如果換成2318，2300仍能分完，但18÷4餘2，整個2318÷4也餘2。前面整百不改變餘數，所以檢查末兩位就足夠。
為什麼不能只留個位？12和22都以2結尾，12可以被4整除，22卻不行。因為10不能被4整除，十位還不能拿掉。
同理100＝25×4，因此25的倍數看末兩位；00、25、50、75都符合。末兩位是04時，就當成4來檢查。
3128＝3×1000＋128。因為 1000＝8×125，前面的整千部分不影響判斷。
例如 1016 看 016，16 可以被 8 整除；只看末兩位不足以判斷 8。
5000＝5×1000＝5×8×125，只看320＝8×40。
1000＝8×125＝2³×5³。7312＝7000＋312；7000＝8×875，312＝8×39，所以7312＝8×914。
7314的整千部分一樣能分完，但314÷8餘2，所以7314不是8的倍數。只看末兩位也不夠：112和212的末兩位相同，但112是8的倍數，212不是。
125也能整除1000，因此125的倍數同樣看末三位。一般來說，若除數能整除10的某個次方，就能只看相對應的末幾位。這些10的次方，質因數都只有2與5。
135＝1×(99＋1)＋3×(9＋1)＋5＝99＋27＋(1＋3＋5)。前兩部分都可被 9 整除。
10＝9＋1，100＝99＋1，1000＝999＋1。每個位值都比 9 的倍數多 1；各位數字和能判斷 9，也能判斷 3。
135＝100＋30＋5＝99＋27＋(1＋3＋5)。前兩塊都是9的倍數，所以看剩下的9。
243＝2×100＋4×10＋3＝2×(99＋1)＋4×(9＋1)＋3＝(198＋36)＋(2＋4＋3)。前一塊234＝9×26，後一塊就是數字和9，所以243可以被9整除。
四位數也一樣：千位的1000＝999＋1、百位的100＝99＋1、十位的10＝9＋1。把9的倍數拿開，各位數字就各留下一份，合起來正是數字和。位數再多也適用。
9的倍數一定是3的倍數，因為9＝3×3。因此上面拿開的部分也能被3整除，同一個數字和也能拿來判斷3。
123的數字和是6，所以它是3的倍數，卻不是9的倍數。數字和很大還可以繼續加：9873→27→9，每一步都保留對3和9的整除關係。
1936＝1×1000＋9×100＋3×10＋6。因 10 比 11 少 1，100 比 99 多 1，1000 比 1001 少 1，符號一正一負交替。
從個位往左交錯加減：6－3＋9－1＝11，可以被 11 整除。若差為 0 或 11 的倍數也算通過。
(6＋9)－(3＋1)＝11。10比11少1；100比99多1；1000比1001少1，所以符號交替。
1936＝1000＋900＋30＋6。把各部分換成11的倍數，再多一點或少一點：
從個位往左，留下的數字依序是加、減、加、減。所以只看兩組數字和的差。差是0可以；差是－11、－22也可以，因為它們都能被11整除。
例如1221：(1＋2)－(2＋1)＝0；2728：(2＋2)－(7＋8)＝－11，兩個都符合。由左或由右開始只會改變正負，不影響能否整除。這裡的「少1」不是把－1當成一般除法的餘數。
下面兩個方法可以分開使用。不用先學同餘符號，只要看懂位值與「整除」就能證明。把原數寫成 N＝10a＋b：b 是個位數，a 是拿掉個位後剩下的全部數字。
N＝10a＋b → T＝a－2b
例：385 → 38－2×5＝28。28 是 7 的倍數，所以 385 也是。也可以繼續：28 → 2－2×8＝－14；負數不妨先看絕對值，14 仍是 7 的倍數。
2N＝20a＋2b＝21a－(a－2b)＝21a－T
如果 N 是 7 的倍數，2N 與 21a 都是 7 的倍數，所以兩者相減得到的 T 也是。
反過來，若 T 是 7 的倍數，則 2N＝21a－T 也是 7 的倍數。因為 2 沒有因數 7，乘上 2 不會憑空多出因數 7，所以 N 本身必須含有因數 7。
重點：原數能被 7 整除，恰好等於新數能被 7 整除。只保留「是否整除」，不代表除以 7 的餘數相同。例如 38 餘 3，但變成的－13 餘 1。
N＝10a＋b → T＝a＋4b
例：286 → 28＋4×6＝52。52＝13×4，所以 286 是 13 的倍數。1001 → 100＋4＝104 → 10＋16＝26，也可以判斷。
4N＝40a＋4b＝39a＋(a＋4b)＝39a＋T
如果 N 是 13 的倍數，4N 與 39a 都是 13 的倍數，相減得到的 T 也是。因為 39＝13×3，減掉的部分一定能整除。
反方向也可以直接拆開原數：
N＝10(a＋4b)－39b＝10T－39b
如果 T 是 13 的倍數，10T 與 39b 都是 13 的倍數，所以 N 也是。這就把兩個方向都證明完成了。
新數夠小、能直接判斷時就停。不要規定一定要變成一位數：例如 13 → 13，再做會一直相同。這個方法同樣只保留整除與否，不保證餘數相同。
兩種拆位法都允許結果是 0，因為 0＝7×0＝13×0。這裡不把 0 當除數。接著回頭看三位分組，會發現 7、11、13 共用的關鍵正是 1001。
1001＝7×11×13。因此把數從右邊每三位分組，交錯加減各組，就可判斷 7、11、13。
例如 123123 → 123－123＝0，所以同時可被 7、11、13 整除。要由右往左每三位切一組，不是各位數字和。
把123466拆成123×1000＋466。因為1000＝1001－1，可改寫成123×1001＋(466－123)。第一塊一定能被7、11、13整除，所以檢查466－123＝343就夠了。343＝7×49，因此123466是7的倍數。
13的例子：123448→448－123＝325＝13×25，所以原數也是13的倍數。若差為負，改看絕對值即可。
更長的數也能三位一組：123456789＝123×1000²＋456×1000＋789。1000²＝1001×999＋1，所以留下123－456＋789＝456。456不是7或13的倍數，原數也不是。
分組有兩組、三組或更多組，留下的正負都交替。重點是先找確定能整除的一大塊，剩下的才是要檢查的部分。
7 只有 1、7 兩個正因數，所以是質數。9 還有 3，所以是合數。1 只有一個因數。
2 是唯一的偶質數；所有大於 2 的偶數都可分成 2×某正整數，因此是合數。
判 97 是否為質數，只需試 2、3、5、7（都不超過 √97）。
若 n＝a×b，兩者不可能都大於 √n，否則乘積會大於 n。小因數若存在，一定能在 √n 以前找到。
49＝7×7，所以要試到7（含7）。77＝7×11，小的一邊7一定不超過√77。97只要查2、3、5、7都不能整除，便知道它是質數；97本身仍然能整除97。
以97為例：9×9＝81，10×10＝100。如果兩個因數都至少10，它們相乘就至少100，超過97。因此若97能拆成兩個大於1的整數，至少有一個小於10。
小於10的質數是2、3、5、7，逐一試都不能整除97，就知道97是質數。為什麼不試4、6、8、9？它們本身還含更小的質因數，前面已檢查過。
不能漏掉「剛好相等」：49＝7×7，所以7仍然要試。也不是說大因數不存在；77有大因數11，只是較小的7已經能告訴我們77是合數。
篩 1～100：先標 1，再由 2 開始刪 4、6、8……，接著 3 從 9 開始、5 從 25、7 從 49。
例如 5×2、5×3、5×4 早被 2、3 的步驟刪過。用質數 p 時，從 p² 開始，省去重複工作。
1先排除；圈住2、3、5、7，刪除時從4、9、25、49開始，不刪2、3、5、7本身。最後亮起全部25個質數。
從 2 開始，逐次留下質數，再從 p² 劃掉倍數。
84＝2×42＝2×2×21＝2×2×3×7。拆出來的 2、3、7 都是質數，才可以停。
樹狀圖可以先用任何整數配對，短除法則逐步用質數整除；終點相同。不要看到 21 就停。
680＝2³×5×17；990＝2×3²×5×11。相同質因數用指數表示，通常底數從小到大排。
1沒有質因數，不用把1硬寫成質數相乘。質數97的標準分解式就是97；其他數字則一直拆到只剩質數。
72＝2³×3²。因數可取 2 的 0、1、2、3 次（4 種），再乘 3 的 0、1、2 次（3 種），所以有 4×3＝12 個。
加 1 的原因是包含 0 次方！完全平方數有一個自己配自己的平方根，所以配對後剩一個落單，正因數個數必為奇數。
2可選 0、1、2、3次（4種）；3可選 0、1、2次（3種），共有4×3＝12種。
72＝2³×3²。選2的0次方是1；選1、2、3次方則是2、4、8。3的選項是1、3、9。任選一個2的選項，再選一個3的選項相乘，例如4×9＝36，就是72的一個因數。
4種選法各搭配3種，共12種。所有因數都能這樣取得；同一個數的質因數分解固定，所以不會因為換一組指數而重複得到同一個因數。
36的配對是1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。前4組各貢獻2個不同因數，最後6只算一次，所以共有9個。平方數會有這種自己配自己的情況，正因數個數因此是奇數。
120＝2³×3×5。若 12＝2²×3，12 所需每種質數與次數都不超過 120，因此 12 是 120 的因數。
判斷a是不是b的因數，要逐種比較相同質數的指數，a每一種都不能超過b。兩個正整數沒有共同質因數，就叫互質；1與每個正整數都互質。
題庫可分觀念練習；診斷會優先指出哪一種錯因要回到哪一節。